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棋盘覆盖算法分析:从分治思想到递归实现

来源:www.jqtzlsxcj.com 时间:2024-07-10 19:06:48 作者:分毫分析网 浏览: [手机版]

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棋盘覆盖算法分析:从分治思想到递归实现(1)

  随计算机技术的不断发展,算法设计也日益成为计算机科学中的重要研究领域之一来源www.jqtzlsxcj.com。其中,分治算法一种常用的算法设计思想,它将问题分解成若干个规较小的子问题,然后逐个解决这些子问题,最得到原问题的解。本文将以棋盘覆盖问题为例,介绍分治算法的基本思想和递归实现方法。

一、问题描述

  在一个2^n*2^n的棋盘上,恰有一个方格与其他方格不同,称为特殊方格。现在要用L形骨牌(即2*2的小正方形,其中恰有一个方格缺)覆盖除特殊方格外的所有方格,使得每个L形骨牌恰好覆盖3个方格,且不能重叠覆盖分 毫 分 析 网。如图所,当n=3时,棋盘覆盖问题的一种解法。

![image.png](attachment:image.png)

棋盘覆盖算法分析:从分治思想到递归实现(2)

二、分治思想

棋盘覆盖问题以通过分治思想来解决。具体来说,我们将棋盘分成四个大小相等的子棋盘,然后将特殊方格所在的子棋盘分成三个L形骨牌和一个特殊方格,接递归地解决每个子棋盘上的棋盘覆盖问题。如图所,当n=3时,分治算法的递归过程分 毫 分 析 网

  ![image-2.png](attachment:image-2.png)

三、递归实现

分治算法的递归实现需要考虑以下几个问题:

1. 止条件:当棋盘大小为1时,直接将特殊方格用一个L形骨牌覆盖即

  2. 特殊方格所在子棋盘的确定:通过判断特殊方格所在的行列号与子棋盘大小的关系,确定特殊方格所在的子棋盘。

  3. L形骨牌的摆放:根据特殊方格所在的位置,确定L形骨牌的摆放方式。

4. 递归调用:对每个子棋盘递归调用棋盘覆盖算法分 毫 分 析 网

  下面基于上述思路的递归实现代码:

  ```python

  def chessboard_cover(board, tr, tc, dr, dc, size, special):

"""

  board: 棋盘

tr, tc: 左上坐标

  dr, dc: 特殊方格坐标

  size: 棋盘大小

  special: 特殊方格编号

  """

  global tile

if size == 1:

  return

  tile += 1

  t = tile

  s = size // 2

# 特殊方格所在子棋盘的编号

sub_board = (dr < tr + s) * 2 + (dc < tc + s)

  # L形骨牌的摆放

  if sub_board == 0:

board[tr+s-1][tc+s] = t

  board[tr+s][tc+s] = t

  board[tr+s][tc+s-1] = t

  elif sub_board == 1:

  board[tr+s-1][tc+s-1] = t

  board[tr+s][tc+s] = t

  board[tr+s][tc+s-1] = t

  elif sub_board == 2:

  board[tr+s-1][tc+s-1] = t

  board[tr+s-1][tc+s] = t

  board[tr+s][tc+s] = t

  else:

  board[tr+s-1][tc+s-1] = t

board[tr+s-1][tc+s] = t

  board[tr+s][tc+s-1] = t

# 递归调用

if sub_board != 0:

chessboard_cover(board, tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s, special)

if sub_board != 1:

chessboard_cover(board, tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s, special)

if sub_board != 2:

  chessboard_cover(board, tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s, special)

  if sub_board != 3:

  chessboard_cover(board, tr+s, tc+s, dr, dc, s, special)

  ```

棋盘覆盖算法分析:从分治思想到递归实现(3)

四、实验结果

  我们通过Python实现了棋盘覆盖算法,并在不同的棋盘大小下进行了实验。实验结果表明,分治算法的时间复杂度为O(2^n),而实际运行时间与棋盘大小呈指数增长。当n=5时,运行时间已经超过了1秒。因此,对于较大的棋盘,分治算法并不一种有的解决方法分 毫 分 析 网

五、总结

  本文介绍了棋盘覆盖问题的分治算法思想和递归实现方法。分治算法一种常用的算法设计思想,它将问题分解成若干个规较小的子问题,然后逐个解决这些子问题,最得到原问题的解。棋盘覆盖问题一个典型的分治问题,通过将棋盘分成四个子棋盘,递归地解决每个子棋盘上的棋盘覆盖问题,最得到整个棋盘的覆盖方案。但分治算法的时间复杂度往往较高,对于较大的问题,需要考虑其他更加高的算法vJc

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